Sistem Persamaan Linear 3 Variabel

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel

Metoda meyelesaikan persamaan

1. Metoda Eliminasi

2. Metoda subtitusi

3. Metoda determinan

4. Metoda matriks

5. Metoda operasi baris elementer

Metoda Eliminasi

Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 :

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Jawab :

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y – z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20_____   +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____  _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

Contoh soal 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21

5x + 2y + 6z = 46

Jawab :

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y – 3z = 3  …………………………….(1)

2x – y + 4z = 21  …………………………….(2)

5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y – 3z = 3    |1| → 3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21    |4| → 8x – 4y+16z = 84    +

.                                  11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46    |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x – y + 4z = 21      |2| → 4x – 2y + 8z = 42     +

.                                    9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88   |11|   99x +154z = 968

11x + 13z = 87  |9|    99x + 117z=783       _

.                                      37z = 185

.                                          z = 5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87

11x + 13.5 = 87

11x + 65 = 87

11x = 22

x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

5x +2y +6z = 46

5.2 +2y +6.5 = 46

10 + 2y + 30 = 46

2y = 6

y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

Metoda subtitusi

Contoh soal 3

Himpunnan penyelesaian sistem persamaan

2x + 5y + 4z = 28

3x – 2y + 5z = 19

6x + 3y – 2z = 4

adalah …

Jawab :

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)

3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)

6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)

Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28

4z = 28 – 2x – 5y

 ………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x – 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76

2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y – 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka

24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16

28x + 22y = 72

14x + 11y = 36

11y = 36 – 14x

…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga

2x -33y = -64

2x – 108 + 42x = -64

44x = 44

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}

Mengenal Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Mengenal Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Perhatikan permasalahan berikut:

          

Membuat Kue. Untuk acara ulang tahun Fira Ibu membuat beberapa macam kue. Oleh karena itu, Ibu membeli bahan-bahan untuk membuat kue yaitu 5 kg terigu dan 3 kg gula dengan harga seluruhnya Rp 30.000,00. Ternyata bahan yang di beli Ibu tersebut kurang, sehingga Ibu menyuruh Fira membeli 2 kg terigu dan 2 kg gula dengan harga seluruhnya Rp 16.000,00. Berapakah harga 1 kg terigu dan harga 1 kg gula?

          Masalah di atas merupakan bentuk dari masalah system persamaan linier dua variabel.

Missal terigu = x dan gula = y maka

5x +3y  = 30.000

2x + 2y = 16.000

Bentuk di atas merupakan bentuk baku sistem persamaan linier dua variabel.

A. Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

          Ada tiga metode yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel, yaitu :

1. Metode Eliminasi (menghilangkan)
2. Metode Substitusi (menggantikan)
3. Metode gabungan (eliminasi dan substitusi )

1.  Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminas                                                                                        Selesaikanlah persamaan linear berikut dengan metode eliminasi

            x + y = 3

            4x – 3y =5

            Jawab:

         samakan koefisien x dari kedua persamaan 

            X + y = 3         x 4     4x + 4y = 12

            4x – 3y = 5      x 1     4x – 3y = 5       -

                                                  7y = 7

                                                    Y = 1

            Apabila kita lakukan penyamaan koefisien variabel y, kita Peroleh

             X + y = 3         x (-3)     -3x - 3y = -9

            4x – 3y = 5       x 1          4x – 3y = 5       -

                                                -7x = -14

                                                  X = 2 

            Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 1 dan 

            himpunanpenyelesaiannya adalah {(2 , 1)}.

 2.      Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode substitusi

         Selesaikanlah persamaan linear berikut dengan metode substitusi

            x + y = 3

            4x – 3y =5

            Jawab:

            Persamaan x + y = 3 dapat diubah menjadi x = 3 – y  selanjutnya                       persamaan ke dua

             4x – 3y =5 variabel x di ganti dengan 3 – y , sehingga persamaan ke dua             menjadi

                                 4x – 3y =5

                       4(3 – y) – 3y = 5

            12 - 4y - 3y = 5

                   12 – 7y = 5

                        -7y = 5 – 12

                        -7y = 7

                           y = 1

selanjutnya y = 1 di substitusikan ke persamaan 1 yaitu

                    x + y = 3

                    x + 1 = 3

                          x = 2

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 1 dan himpunan

            penyelesaiannya adalah {(2 , 1)}

3.      Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode gabungan

         Selesaikanlah persamaan linear berikut dengan metode gabungan

           x + y = 3

           4x – 3y =5

            Jawab:

            samakan koefisien x dari kedua persamaan

                                     X + y = 3         x 4     4x + 4y = 12

                                     4x – 3y = 5      x 1     4x – 3y = 5       -

                                                                           7y = 7

                                                                             Y = 1

selanjutnya y = 1 di substitusikan ke persamaan 1 yaitu

                            x + y = 3

                            x + 1 = 3

                            x = 2

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2 dan y = 1 dan himpunan

           penyelesaiannya adalah {(2 , 1)}

           terbukti bahwa dengan ke 3 cara di atas menghasilkan penyelesaiaan                  yang sama